格——LeetCode 第 163 場雙周賽 T1 的正方形覆蓋數(shù)學(xué)推導(dǎo)與 O(1) 實現(xiàn))
科學(xué)計算【免費下載鏈接】codeforces-go算法競賽模板庫 by 靈茶山艾府 項目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go點擊查看免費下載導(dǎo)讀本文基于本倉庫算法競賽模板庫 codeforces-go作者靈茶山艾府中 LeetCode 第 163 場雙周賽第一題題解深入剖析「覆蓋網(wǎng)格所需的最少傳感器數(shù)」這一經(jīng)典網(wǎng)格覆蓋問題。文章完整繼承原題解的數(shù)學(xué)推導(dǎo)、五種語言實現(xiàn)與復(fù)雜度分析并結(jié)合倉庫中的 Go 實現(xiàn)、自動化測試 與 測試數(shù)據(jù) 進行源碼級印證。讀完本文你將掌握「上取整 → 下取整」的整數(shù)除法等價變換技巧以及一類「固定邊長正方形鋪滿網(wǎng)格」問題的最小覆蓋計數(shù)通式并能在本倉庫中直接運行測試驗證結(jié)論。題目原型把「傳感器覆蓋范圍」翻譯成正方形覆蓋問題原題名為Minimum Sensors to Cover Grid覆蓋網(wǎng)格的最少傳感器數(shù)題目信息記錄在 a_test.go 的注釋中。題意可概括為有一個 $n\times m$ 的網(wǎng)格每個傳感器可以覆蓋以自身為中心的一個正方形區(qū)域從中心往左最多走 $k$ 步往右最多走 $k$ 步往上、往下同理。問至少需要多少個傳感器才能覆蓋整個 $n\times m$ 網(wǎng)格。本題解題的第一步也是最關(guān)鍵的一步是把「覆蓋范圍」這個幾何對象翻譯成一個確定的正方形從中心往左最多走 $k$ 步往右最多走 $k$ 步因此正方形邊長為 $k 1 k 2k1$。于是原問題被等價改寫為用 $(2k1)\times(2k1)$ 的正方形覆蓋 $n\times m$ 的網(wǎng)格最少要用多少個正方形。這一「問題等價轉(zhuǎn)化」正是整個 O(1) 解法的起點一旦覆蓋范圍被確定為邊長為 $2k1$ 的正方形問題就從「幾何擺放」降維成了「計數(shù)分段」。核心推導(dǎo)最少個數(shù) 兩個方向上取整的乘積由于正方形的兩個維度相互獨立網(wǎng)格覆蓋可以被分解為按行分段與按列分段兩個一維問題按行分段每 $2k1$ 行分成一段$n$ 行一共要分成 $\left\lceil\dfrac{n}{2k1}\right\rceil$ 段按列分段每一段內(nèi)$m$ 列每 $2k1$ 列放一個正方形即每段需要 $\left\lceil\dfrac{m}{2k1}\right\rceil$ 個正方形。兩個方向上的段數(shù)相乘即為最少傳感器總數(shù)$$ \left\lceil\dfrac{n}{2k1}\right\rceil\cdot \left\lceil\dfrac{m}{2k1}\right\rceil $$邊界情況的自然性如果正方形比 $n\times m$ 的網(wǎng)格還大即 $2k1 n$ 且 $2k1 m$兩個上取整都會變成 $1$上式算出的結(jié)果是 $1$恰好符合只需要放一個傳感器即可覆蓋全網(wǎng)格的實際情形公式無需特判。上取整轉(zhuǎn)下取整一行代碼的落地技巧數(shù)學(xué)公式里的上取整 $\left\lceil\dfrac{a}\right\rceil$ 在計算機中并不能直接用整數(shù)除法得到。原題解給出的做法是借助上取整與下取整的轉(zhuǎn)換恒等式對正整數(shù) $a, b$ 有$$ \left\lceil\dfrac{a}\right\rceil \left\lfloor\dfrac{a-1}\right\rfloor 1 $$其中 $\left\lfloor\cdots\right\rfloor$ 正是整數(shù)除法向下取整。轉(zhuǎn)換后計算機只需要做一次普通的整數(shù)除法加一次加法// ceil(a/b) 的整數(shù)實現(xiàn) ((n - 1) / size 1)這個恒等式的直覺是$a$ 恰好被 $b$ 整除時$\lceil a/b\rceil a/b$而 $(a-1)/b a/b - 1$再加 $1$ 還原當(dāng) $a$ 不能被 $b$ 整除時$(a-1)/b$ 正好等于 $a/b$ 的整數(shù)商余數(shù)被消去再加 $1$ 即得上取整結(jié)果。它避免了浮點運算也規(guī)避了浮點精度誤差是競賽代碼中處理向上取整的標準手法。五種語言的完整實現(xiàn)原題解給出了 Python3、Java、C、Go 四種語言的完整實現(xiàn)代碼與推導(dǎo)一一對應(yīng)此處完整繼承并補充注釋class Solution: def minSensors(self, n: int, m: int, k: int) - int: size k * 2 1 # 傳感器覆蓋正方形的邊長 # ceil(n/size) * ceil(m/size) 的上取整轉(zhuǎn)下取整寫法 return ((n - 1) // size 1) * ((m - 1) // size 1)class Solution { public int minSensors(int n, int m, int k) { int size k * 2 1; // 傳感器覆蓋正方形的邊長 return ((n - 1) / size 1) * ((m - 1) / size 1); } }class Solution { public: int minSensors(int n, int m, int k) { int size k * 2 1; // 傳感器覆蓋正方形的邊長 return ((n - 1) / size 1) * ((m - 1) / size 1); } };func minSensors(n, m, k int) int { size : k*2 1 // 傳感器覆蓋正方形的邊長 return ((n-1)/size 1) * ((m-1)/size 1) }值得說明的是Go 版代碼與倉庫中的 a.go逐字一致該文件正是本題在倉庫內(nèi)的標準提交實現(xiàn)可直接作為比賽模板使用。復(fù)雜度與邊界情況時間復(fù)雜度$\mathcal{O}(1)$——只做常數(shù)次四則運算與網(wǎng)格大小無關(guān)空間復(fù)雜度$\mathcal{O}(1)$——只使用常數(shù)個變量。幾個值得注意的邊界情況$k 0$此時 $size 1$答案退化為 $n \times m$即每個傳感器只覆蓋一個格子代碼無需特判即可正確處理正方形大于網(wǎng)格$2k1 n$ 或 $2k1 m$ 時對應(yīng)方向的上取整為 $1$公式自動給出最小解 $1$數(shù)據(jù)范圍與溢出若 $n, m$ 取值較大建議使用 64 位整數(shù)類型如 Go 的int64、Java 的long來承接乘法結(jié)果避免中間乘積溢出原題解與倉庫實現(xiàn)均未依賴具體數(shù)據(jù)范圍此條為通用的工程建議。倉庫源碼佐證實現(xiàn)與測試閉環(huán)本倉庫為這道題提供了完整的實現(xiàn) 測試數(shù)據(jù) 自動化測試閉環(huán)可以在本地直接復(fù)現(xiàn)題解結(jié)論。1. 核心實現(xiàn)a.go 只有 7 行包含函數(shù)簽名、邊長計算與一行返回值注釋中標注了作者 B 站空間遵循倉庫統(tǒng)一的提交代碼風(fēng)格。2. 測試數(shù)據(jù)a.txt 以純文本方式保存了兩組用例每組 4 行3 個輸入?yún)?shù) 1 個期望輸出輸入 (n, m, k)size 2k1公式計算結(jié)果期望輸出5, 5, 13?5/3?·?5/3? 2·242, 2, 25?2/5?·?2/5? 1·11第二組用例恰好驗證了上文的邊界結(jié)論當(dāng)正方形5×5比網(wǎng)格2×2還大時答案是 1。3. 自動化測試a_test.go 通過testutil.RunLeetCodeFuncWithFile(t, minSensors, a.txt, 0)驅(qū)動測試其底層實現(xiàn)在 leetcode/testutil/leetcode.go先讀取數(shù)據(jù)文件并用trimSpaceAndEmptyLine見 leetcode/testutil/helper.go去除空行與首尾空格通過反射獲取目標函數(shù)minSensors的輸入?yún)?shù)個數(shù)NumIn與返回值個數(shù)NumOut按每fNumIn fNumOut行切分為一組完整用例——這就是a.txt中每組恰好 4 行的原因?qū)γ拷M用例調(diào)用目標函數(shù)并用斷言框架比對實際輸出與期望輸出同時內(nèi)置超時檢測isTLE可在答案正確的前提下額外暴露超時風(fēng)險。這一題解文件 提交代碼 數(shù)據(jù)文件 反射驅(qū)動測試的組織方式是倉庫 leetcode 目錄下所有題目通用的標準工作流測試文件頭部注釋Generated by copypasta/template/leetcode/generator_test.go也表明它由倉庫自帶的模板生成器自動產(chǎn)出。4. 本地運行驗證倉庫 go.mod 聲明 Go 版本為 1.23在倉庫根目錄執(zhí)行以下命令即可運行本題全部用例go test ./leetcode/biweekly/163/a/ -v思路推廣一類「固定邊長鋪滿網(wǎng)格」問題的通用模板本題的核心結(jié)論可以推廣為一類問題的通用模板當(dāng)覆蓋物是軸對齊的正方形或矩形且兩個方向互相獨立時最少覆蓋個數(shù) 行方向上取整段數(shù) × 列方向上取整段數(shù)。這類問題在網(wǎng)格圖與幾何覆蓋類題目中反復(fù)出現(xiàn)做題時只需兩步確定覆蓋物在單個方向上的跨度本題為 $2k1$源自左右各 $k$ 步加自身一格用 $\left\lceil\dfrac{\text{方向總長}}{\text{跨度}}\right\rceil$ 計算該方向的段數(shù)最后相乘并用 $(x-1)/\text{跨度}1$ 的整數(shù)寫法落地。更系統(tǒng)的刷題路徑可參考原題解末尾的分類題單滑動窗口、二分、單調(diào)棧、網(wǎng)格圖、動態(tài)規(guī)劃等主題均收錄于 leetcode/SOLUTIONS.md 與倉庫各題解目錄本題所屬的網(wǎng)格覆蓋類題型本質(zhì)上考察的是問題等價轉(zhuǎn)化 整數(shù)上取整公式這兩項基本功。贊分享科學(xué)計算【免費下載鏈接】codeforces-go算法競賽模板庫 by 靈茶山艾府 項目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go點擊查看免費下載相關(guān)推薦codeforces-go 題解精講LeetCode 第 118 場雙周賽 B 題「最大化網(wǎng)格正方形洞的面積」—— 貪心與最長連續(xù)序列codeforces go 題解精講LeetCode 第 118 場雙周賽 B 題「最大化網(wǎng)格正方形洞的面積」—— 貪心與最長連續(xù)序列 本篇技術(shù)指南以 cod科學(xué)計算用最小矩形覆蓋點LeetCode 雙周賽 128 貪心解法多語言實現(xiàn)與 codeforces-go 源碼剖析用最小矩形覆蓋點LeetCode 雙周賽 128 貪心解法多語言實現(xiàn)與 codeforces go 源碼剖析 導(dǎo)讀 本文圍繞 LeetCode 第 128 場科學(xué)計算codeforces-go 題解深讀LeetCode 雙周賽 141 Q2「構(gòu)造最小位運算數(shù)組 II」的 O(1) 位運算推導(dǎo)與 Go 實現(xiàn)codeforces go 題解深讀LeetCode 雙周賽 141 Q2「構(gòu)造最小位運算數(shù)組 II」的 O 1 位運算推導(dǎo)與 Go 實現(xiàn) 本篇技術(shù)指南以 l科學(xué)計算上一篇AMD Ryzen SMUDebugTool5分鐘解鎖CPU隱藏性能的終極指南下一篇Ryzen處理器深度調(diào)校終極指南使用SMUDebugTool解鎖隱藏性能創(chuàng)作聲明：本文部分內(nèi)容由AI輔助生成（AIGC），僅供參考 codeforces-go 題解精講：最少傳感器覆蓋網(wǎng)格——LeetCode 第 163 場雙周賽 T1 的正方形覆蓋數(shù)學(xué)推導(dǎo)與 O(1) 實現(xiàn)
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2·242, 2, 25?2/5?·?2/5? 1·11第二組用例恰好驗證了上文的邊界結(jié)論當(dāng)正方形5×5比網(wǎng)格2×2還大時答案是 1。3. 自動化測試a_test.go 通過testutil.RunLeetCodeFuncWithFile(t, minSensors, a.txt, 0)驅(qū)動測試其底層實現(xiàn)在 leetcode/testutil/leetcode.go先讀取數(shù)據(jù)文件并用trimSpaceAndEmptyLine見 leetcode/testutil/helper.go去除空行與首尾空格通過反射獲取目標函數(shù)minSensors的輸入?yún)?shù)個數(shù)NumIn與返回值個數(shù)NumOut按每fNumIn fNumOut行切分為一組完整用例——這就是a.txt中每組恰好 4 行的原因?qū)γ拷M用例調(diào)用目標函數(shù)并用斷言框架比對實際輸出與期望輸出同時內(nèi)置超時檢測isTLE可在答案正確的前提下額外暴露超時風(fēng)險。這一題解文件 提交代碼 數(shù)據(jù)文件 反射驅(qū)動測試的組織方式是倉庫 leetcode 目錄下所有題目通用的標準工作流測試文件頭部注釋Generated by copypasta/template/leetcode/generator_test.go也表明它由倉庫自帶的模板生成器自動產(chǎn)出。4. 本地運行驗證倉庫 go.mod 聲明 Go 版本為 1.23在倉庫根目錄執(zhí)行以下命令即可運行本題全部用例go test ./leetcode/biweekly/163/a/ -v思路推廣一類「固定邊長鋪滿網(wǎng)格」問題的通用模板本題的核心結(jié)論可以推廣為一類問題的通用模板當(dāng)覆蓋物是軸對齊的正方形或矩形且兩個方向互相獨立時最少覆蓋個數(shù) 行方向上取整段數(shù) × 列方向上取整段數(shù)。這類問題在網(wǎng)格圖與幾何覆蓋類題目中反復(fù)出現(xiàn)做題時只需兩步確定覆蓋物在單個方向上的跨度本題為 $2k1$源自左右各 $k$ 步加自身一格用 $\left\lceil\dfrac{\text{方向總長}}{\text{跨度}}\right\rceil$ 計算該方向的段數(shù)最后相乘并用 $(x-1)/\text{跨度}1$ 的整數(shù)寫法落地。更系統(tǒng)的刷題路徑可參考原題解末尾的分類題單滑動窗口、二分、單調(diào)棧、網(wǎng)格圖、動態(tài)規(guī)劃等主題均收錄于 leetcode/SOLUTIONS.md 與倉庫各題解目錄本題所屬的網(wǎng)格覆蓋類題型本質(zhì)上考察的是問題等價轉(zhuǎn)化 整數(shù)上取整公式這兩項基本功。贊分享科學(xué)計算【免費下載鏈接】codeforces-go算法競賽模板庫 by 靈茶山艾府 項目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go點擊查看免費下載相關(guān)推薦codeforces-go 題解精講LeetCode 第 118 場雙周賽 B 題「最大化網(wǎng)格正方形洞的面積」—— 貪心與最長連續(xù)序列codeforces go 題解精講LeetCode 第 118 場雙周賽 B 題「最大化網(wǎng)格正方形洞的面積」—— 貪心與最長連續(xù)序列 本篇技術(shù)指南以 cod科學(xué)計算用最小矩形覆蓋點LeetCode 雙周賽 128 貪心解法多語言實現(xiàn)與 codeforces-go 源碼剖析用最小矩形覆蓋點LeetCode 雙周賽 128 貪心解法多語言實現(xiàn)與 codeforces go 源碼剖析 導(dǎo)讀 本文圍繞 LeetCode 第 128 場科學(xué)計算codeforces-go 題解深讀LeetCode 雙周賽 141 Q2「構(gòu)造最小位運算數(shù)組 II」的 O(1) 位運算推導(dǎo)與 Go 實現(xiàn)codeforces go 題解深讀LeetCode 雙周賽 141 Q2「構(gòu)造最小位運算數(shù)組 II」的 O 1 位運算推導(dǎo)與 Go 實現(xiàn) 本篇技術(shù)指南以 l科學(xué)計算上一篇AMD Ryzen SMUDebugTool5分鐘解鎖CPU隱藏性能的終極指南下一篇Ryzen處理器深度調(diào)校終極指南使用SMUDebugTool解鎖隱藏性能創(chuàng)作聲明：本文部分內(nèi)容由AI輔助生成（AIGC），僅供參考