概念速查】group action 群作用)
群在集合上的作用Group Action是抽象代數(shù)中最核心、最強(qiáng)大的工具之一。如果說群本身是對(duì)“對(duì)稱性”的抽象描述那么群作用就是讓這個(gè)抽象的群“動(dòng)起來”去作用在一個(gè)具體的幾何圖形、代數(shù)結(jié)構(gòu)或集合上從而研究該集合的內(nèi)部結(jié)構(gòu)與對(duì)稱性質(zhì)。前面討論的凱萊定理群作用在自身上和二面體群二面體群作用在多邊形頂點(diǎn)上本質(zhì)上都是群作用的具體表現(xiàn)。1. 嚴(yán)格定義設(shè)(G,?)(G, \cdot)(G,?)是一個(gè)群XXX是一個(gè)非空集合。一個(gè)左群作用是一個(gè)乘法運(yùn)算?*?G×X→XG \times X \to XG×X→X滿足以下兩個(gè)條件單位元不動(dòng)對(duì)任意x∈Xx \in Xx∈X有e?xxe \cdot x xe?xx其中eee是群GGG的單位元。結(jié)合律/復(fù)合兼容性對(duì)任意g,h∈Gg, h \in Gg,h∈G及x∈Xx \in Xx∈X有g(shù)?(h?x)(gh)?xg \cdot (h \cdot x) (gh) \cdot xg?(h?x)(gh)?x觀點(diǎn)轉(zhuǎn)換映射視角給定一個(gè)群作用對(duì)每個(gè)固定的g∈Gg \in Gg∈G映射σg:X→X\sigma_g: X \to Xσg?:X→X定義為σg(x)g?x\sigma_g(x) g \cdot xσg?(x)g?x都是集合XXX上的一個(gè)雙射置換。因此一個(gè)群作用等價(jià)于定義了一個(gè)群同態(tài)?:G→Sym(X)\phi: G \to \text{Sym}(X)?:G→Sym(X)這意味著群作用本質(zhì)上就是把抽象群GGG表示為集合XXX上的置換群。2. 兩個(gè)核心概念軌道與穩(wěn)定子研究群作用時(shí)最核心的兩個(gè)幾何/代數(shù)對(duì)象是軌道Orbit和穩(wěn)定子Stabilizer。(1) 軌道Orbit——“元素被變到了哪里”對(duì)于集合XXX中的一個(gè)點(diǎn)xxx在群GGG的作用下xxx能到達(dá)的所有位置構(gòu)成的集合稱為xxx的軌道記作Orb(x)\text{Orb}(x)Orb(x)或G?xG \cdot xG?xOrb(x){g?x∣g∈G}?X\text{Orb}(x) \{ g \cdot x \mid g \in G \} \subseteq XOrb(x){g?x∣g∈G}?X軌道等價(jià)關(guān)系群作用將集合XXX劃分Partition為若干個(gè)互不相交的軌道的并集。(2) 穩(wěn)定子Stabilizer——“哪些元素保持它不動(dòng)”對(duì)于集合XXX中的一個(gè)點(diǎn)xxx所有讓xxx保持原位不動(dòng)的群元素構(gòu)成的集合稱為xxx的穩(wěn)定子記作StabG(x)\text{Stab}_G(x)StabG?(x)或GxG_xGx?StabG(x){g∈G∣g?xx}?G\text{Stab}_G(x) \{ g \in G \mid g \cdot x x \} \subseteq GStabG?(x){g∈G∣g?xx}?G重要性質(zhì)對(duì)任意x∈Xx \in Xx∈X穩(wěn)定子StabG(x)\text{Stab}_G(x)StabG?(x)必為GGG的一個(gè)子群。3. 群作用三大基石定理(1) 軌道-穩(wěn)定子定理Orbit-Stabilizer Theorem設(shè)有限群GGG作用在集合XXX上對(duì)任意x∈Xx \in Xx∈X軌道的元素個(gè)數(shù)與穩(wěn)定子的指數(shù)陪集個(gè)數(shù)相等∣Orb(x)∣[G:StabG(x)]∣G∣∣StabG(x)∣\vert{}\text{Orb}(x)\vert{} [G : \text{Stab}_G(x)] \frac{\vert{}G\vert{}}{\vert{}\text{Stab}_G(x)\vert{}}∣Orb(x)∣[G:StabG?(x)]∣StabG?(x)∣∣G∣?直觀使得點(diǎn)xxx移動(dòng)到同一個(gè)新位置的所有群元素剛好構(gòu)成穩(wěn)定子的一個(gè)左陪集。(2) 伯恩賽德引理Burnside’s Lemma軌道的總數(shù)量即不同“對(duì)稱類”的數(shù)量等于群元素固定點(diǎn)個(gè)數(shù)的平均值軌道數(shù)1∣G∣∑g∈G∣Xg∣\text{軌道數(shù)} \frac{1}{\vert{}G\vert{}} \sum_{g \in G} \vert{}X^g\vert{}軌道數(shù)∣G∣1?g∈G∑?∣Xg∣其中Xg{x∈X∣g?xx}X^g \{ x \in X \mid g \cdot x x \}Xg{x∈X∣g?xx}表示在群元素ggg作用下保持不動(dòng)的點(diǎn)集。這個(gè)引理是 Polya 組合計(jì)數(shù)定理的基石。(3) 類方程Class Equation當(dāng)群GGG通過共軛作用即g?xgxg?1g \cdot x g x g^{-1}g?xgxg?1作用在自身XGX GXG上時(shí)軌道定理給出了著名的類方程∣G∣∣Z(G)∣∑i[G:CG(xi)]\vert{}G\vert{} \vert{}Z(G)\vert{} \sum_{i} [G : C_G(x_i)]∣G∣∣Z(G)∣i∑?[G:CG?(xi?)]其中Z(G)Z(G)Z(G)是群的中心CG(xi)C_G(x_i)CG?(xi?)是元素xix_ixi?的中心化子即共軛作用下的穩(wěn)定子。類方程是證明ppp-群性質(zhì)如中心非平凡以及柯西定理、西洛定理Sylow Theorems的核心武器。4. 經(jīng)典群作用示例群GGG作用集XXX作用方式g?xg \cdot xg?x軌道的含義/應(yīng)用二面體群DnD_nDn?正nnn邊形的頂點(diǎn){1,…,n}\{1, \dots, n\}{1,…,n}幾何旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)自然的置換作用Orb(1)X\text{Orb}(1) XOrb(1)X傳遞作用任意群GGG自身XGX GXG左乘作用g?xgxg \cdot x gxg?xgx凱萊定理軌道只有一個(gè)穩(wěn)定子為{e}\{e\}{e}任意群GGG自身XGX GXG共軛作用g?xgxg?1g \cdot x gxg^{-1}g?xgxg?1軌道為共軛類導(dǎo)出了類方程群GGG子群HHH的陪集集G/HG/HG/H陪集左乘g?(kH)(gk)Hg \cdot (kH) (gk)Hg?(kH)(gk)H證明米勒/凱萊推廣定理構(gòu)造有限商群 【抽象代數(shù)概念速查】group action 群作用
群在集合上的作用Group Action是抽象代數(shù)中最核心、最強(qiáng)大的工具之一。如果說群本身是對(duì)“對(duì)稱性”的抽象描述那么群作用就是讓這個(gè)抽象的群“動(dòng)起來”去作用在一個(gè)具體的幾何圖形、代數(shù)結(jié)構(gòu)或集合上從而研究該集合的內(nèi)部結(jié)構(gòu)與對(duì)稱性質(zhì)。前面討論的凱萊定理群作用在自身上和二面體群二面體群作用在多邊形頂點(diǎn)上本質(zhì)上都是群作用的具體表現(xiàn)。1. 嚴(yán)格定義設(shè)(G,?)(G, \cdot)(G,?)是一個(gè)群XXX是一個(gè)非空集合。一個(gè)左群作用是一個(gè)乘法運(yùn)算?*?G×X→XG \times X \to XG×X→X滿足以下兩個(gè)條件單位元不動(dòng)對(duì)任意x∈Xx \in Xx∈X有e?xxe \cdot x xe?xx其中eee是群GGG的單位元。結(jié)合律/復(fù)合兼容性對(duì)任意g,h∈Gg, h \in Gg,h∈G及x∈Xx \in Xx∈X有g(shù)?(h?x)(gh)?xg \cdot (h \cdot x) (gh) \cdot xg?(h?x)(gh)?x觀點(diǎn)轉(zhuǎn)換映射視角給定一個(gè)群作用對(duì)每個(gè)固定的g∈Gg \in Gg∈G映射σg:X→X\sigma_g: X \to Xσg?:X→X定義為σg(x)g?x\sigma_g(x) g \cdot xσg?(x)g?x都是集合XXX上的一個(gè)雙射置換。因此一個(gè)群作用等價(jià)于定義了一個(gè)群同態(tài)?:G→Sym(X)\phi: G \to \text{Sym}(X)?:G→Sym(X)這意味著群作用本質(zhì)上就是把抽象群GGG表示為集合XXX上的置換群。2. 兩個(gè)核心概念軌道與穩(wěn)定子研究群作用時(shí)最核心的兩個(gè)幾何/代數(shù)對(duì)象是軌道Orbit和穩(wěn)定子Stabilizer。(1) 軌道Orbit——“元素被變到了哪里”對(duì)于集合XXX中的一個(gè)點(diǎn)xxx在群GGG的作用下xxx能到達(dá)的所有位置構(gòu)成的集合稱為xxx的軌道記作Orb(x)\text{Orb}(x)Orb(x)或G?xG \cdot xG?xOrb(x){g?x∣g∈G}?X\text{Orb}(x) \{ g \cdot x \mid g \in G \} \subseteq XOrb(x){g?x∣g∈G}?X軌道等價(jià)關(guān)系群作用將集合XXX劃分Partition為若干個(gè)互不相交的軌道的并集。(2) 穩(wěn)定子Stabilizer——“哪些元素保持它不動(dòng)”對(duì)于集合XXX中的一個(gè)點(diǎn)xxx所有讓xxx保持原位不動(dòng)的群元素構(gòu)成的集合稱為xxx的穩(wěn)定子記作StabG(x)\text{Stab}_G(x)StabG?(x)或GxG_xGx?StabG(x){g∈G∣g?xx}?G\text{Stab}_G(x) \{ g \in G \mid g \cdot x x \} \subseteq GStabG?(x){g∈G∣g?xx}?G重要性質(zhì)對(duì)任意x∈Xx \in Xx∈X穩(wěn)定子StabG(x)\text{Stab}_G(x)StabG?(x)必為GGG的一個(gè)子群。3. 群作用三大基石定理(1) 軌道-穩(wěn)定子定理Orbit-Stabilizer Theorem設(shè)有限群GGG作用在集合XXX上對(duì)任意x∈Xx \in Xx∈X軌道的元素個(gè)數(shù)與穩(wěn)定子的指數(shù)陪集個(gè)數(shù)相等∣Orb(x)∣[G:StabG(x)]∣G∣∣StabG(x)∣\vert{}\text{Orb}(x)\vert{} [G : \text{Stab}_G(x)] \frac{\vert{}G\vert{}}{\vert{}\text{Stab}_G(x)\vert{}}∣Orb(x)∣[G:StabG?(x)]∣StabG?(x)∣∣G∣?直觀使得點(diǎn)xxx移動(dòng)到同一個(gè)新位置的所有群元素剛好構(gòu)成穩(wěn)定子的一個(gè)左陪集。(2) 伯恩賽德引理Burnside’s Lemma軌道的總數(shù)量即不同“對(duì)稱類”的數(shù)量等于群元素固定點(diǎn)個(gè)數(shù)的平均值軌道數(shù)1∣G∣∑g∈G∣Xg∣\text{軌道數(shù)} \frac{1}{\vert{}G\vert{}} \sum_{g \in G} \vert{}X^g\vert{}軌道數(shù)∣G∣1?g∈G∑?∣Xg∣其中Xg{x∈X∣g?xx}X^g \{ x \in X \mid g \cdot x x \}Xg{x∈X∣g?xx}表示在群元素ggg作用下保持不動(dòng)的點(diǎn)集。這個(gè)引理是 Polya 組合計(jì)數(shù)定理的基石。(3) 類方程Class Equation當(dāng)群GGG通過共軛作用即g?xgxg?1g \cdot x g x g^{-1}g?xgxg?1作用在自身XGX GXG上時(shí)軌道定理給出了著名的類方程∣G∣∣Z(G)∣∑i[G:CG(xi)]\vert{}G\vert{} \vert{}Z(G)\vert{} \sum_{i} [G : C_G(x_i)]∣G∣∣Z(G)∣i∑?[G:CG?(xi?)]其中Z(G)Z(G)Z(G)是群的中心CG(xi)C_G(x_i)CG?(xi?)是元素xix_ixi?的中心化子即共軛作用下的穩(wěn)定子。類方程是證明ppp-群性質(zhì)如中心非平凡以及柯西定理、西洛定理Sylow Theorems的核心武器。4. 經(jīng)典群作用示例群GGG作用集XXX作用方式g?xg \cdot xg?x軌道的含義/應(yīng)用二面體群DnD_nDn?正nnn邊形的頂點(diǎn){1,…,n}\{1, \dots, n\}{1,…,n}幾何旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)自然的置換作用Orb(1)X\text{Orb}(1) XOrb(1)X傳遞作用任意群GGG自身XGX GXG左乘作用g?xgxg \cdot x gxg?xgx凱萊定理軌道只有一個(gè)穩(wěn)定子為{e}\{e\}{e}任意群GGG自身XGX GXG共軛作用g?xgxg?1g \cdot x gxg^{-1}g?xgxg?1軌道為共軛類導(dǎo)出了類方程群GGG子群HHH的陪集集G/HG/HG/H陪集左乘g?(kH)(gk)Hg \cdot (kH) (gk)Hg?(kH)(gk)H證明米勒/凱萊推廣定理構(gòu)造有限商群